로또복권 1등 당첨확률은 8,145,060 분의 1 ( 약 0.00000012 )
내가 오늘 하루 교통사고로 사망할 확률(약 0.00000034)보다 1/3 희박하고, 번개에 맞을 확률(약 0.0000007)의 1/6 희박한 확률이다.
그럼에도 로또복권의 1등 당첨자 수가 10명 이상이 나오는 이유는 무엇일까?
당연한 답변이지만, 그만큼 로또복권을 구매하는 수량이 많다는 이야기다. 2018년 2월 17일(794회차)을 기준으로 지난 100회의 로또복권 총 판매금액은 다음과 같으며 대략적으로 700억원 내외다.
로또복권의 1등 당첨자 수에 대한 기댓값은 (총 판매금액)÷(1,000원×8,145,060가지)으로 계산된다.
매주 평균 700억원이 판매되었다고 가정한다면,
1등 당첨자 수에 대한 기댓값은 (70,000,000,000원)÷(1,000원×8,145,060가지) ≒ 8.59명 이다.
따라서 8명 내외의 1등 당첨자가 나오는 것은 지극히 자연스러운 결과이다. 그럼에도 불구하고 지난 777회차(2017.10.21.)의 1등 당첨자 수 21명은 확률을 이해하지 못한 이들에게는 쉽게 받아들일 수 없는 결과일 것이다.
< 제777회 로또복권 총 판매금액 755억원, 1등 당첨자 수 21명, 1등 당첨금액 약 8억원 >
이쯤해서 지난 100회(695회∼794회)에 대한 로또복권 1등 당첨자 수를 집계한 통계적 확률과 이론적으로 계산한 수학적 확률 값을 비교해보자. 물론, 수학적 확률 값은 매회 판매금액에 따라 달라지지만 여기서는 평균 700억원을 기준으로 계산해보았다.
위의 결과를 들여다보면, 당첨자 수가 다소 ‘비정상적’이라 생각할 수도 있는 4명(13번), 20명(1번), 21명(2번)이 눈에 들어온다. 하지만 임의성을 갖고 있는 시행에서 어느 정도는 이러한 결과가 나올 수 있다. 실제 위의 총 당첨자수를 구해보면 899명으로 매주 평균 당첨자수가 8.99명이다. 수학적으로 계산된 기댓값 8.59명과 별반 다를 바 없는 지극히 정상적인 결과다. 정상적으로 기대할 수 있는 당첨자보다 더 많은 20~21명의 당첨자가 나오기도 했지만, 4명과 같이 그보다 더 작은 당첨자도 나와서 ‘전체적으로는 수학적인 기대수준과 엇비슷해 졌다’는 이야기다.
그러함에도 불구하고, 로또복권의 추첨기계와 1등 당첨자 수의 결과를 쉽게 수긍할 수 없는 이들을 위하여 총 판매금액 700억원에 대한 컴퓨터 가상실험(자동구매 및 자동추첨)을 해보기로 한다.
700억원에 대한 가상실험 결과,
1등 당첨자수는 8명, 15명, 10명, 9명, 5명, 10명, 12명, 4명, 12명, 7명이다.
총 10번의 실험에 불과하였기에,
(Mathematica를 이용한 700억원에 대한 10번의 가상실험은 총 6분×10번=60분이 소요되었다.)
20~21명의 당첨자는 발생하지 않았지만 최소 당첨자 4명, 최대 당첨자 15명에 이르기까지 폭넓게 나타났음을 볼 수 있다. 더하여, 총 당첨자 수는 92명으로 평균 당첨자 수는 9.2명이다. 이 값 역시 수학적으로 계산된 기댓값 8.59명과도 크게 다르지 않다.
물론, 통계학적으로 더욱 정밀한 검증의 절차를 적용해볼 수도 있겠지만, 이정도 수준의 수학적 확률계산과 실제와의 비교 및 가상실험 결과로도 지난 100회의 기간 동안 발생한 로또복권의 실제 당첨자수는 정상적인 범주내의 결과라고 볼 수 있다.
[더 알아보기]
이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Matheatica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 이 글을 써 주신 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있다.
No sweat, no sweet 